Fuzzy-Relationen (binär)

Definition

Sei Y ein Grundbereich der Form \(Y = X_1 \times X_2\) also \(Y ) \{(x,y) \mid x \in X_1 \wedge y \in X_2 \}\). Eine unscharfe (fuzzy) binäre Realtion R über Y ist eine Fuzzy-Teilmenge von Y, also \(R \in F(Y)\).

Beispiel

Eine Relation “ungefähr gleich”, sei gegeben als \(X_1 = X_2 = \mathbb{N}, x \in X_1, y \in X_2\), so ist \(\mu_{ungefähr gleich}(x,y) = max \{ 0, 1 - a \mid x - y \mid\}\) mit Parameter a > 0.

Verallgemeinerung von Fuzzy-Relationen

Definition

Seien \(X_1, X_2 \subseteq \mathbb{R}\) und \(A \in F(X_1)\) und \(B \in F(X_2)\) zwei Fuzzy-Mengen. Dann ist \(R \in F(X_1 \times X_2)\) eine Fuzzy-Relation über A und B, wenn gilt:

\[\begin{split}\mu_B(x,y) &\le \mu_A(x) \text{ und } \\ \forall (x,y) \in X_1 \times X_2: \mu_B(x,y) &\le \mu_B(y)\end{split}\]

Verknüpfungen (Verkettungen) von Fuzzy-Relationen

Definition

Seien \(K \in F(X_1 \times X_2), S \in F(X_2 \times X_3)\), so ist die Verkettung \(R \circ S\) definiert durch

\(\mu_{R \circ S}(x,z) =_{def.} sup_{y \in X_2} min \{ \mu_R(x,y), \mu_S(y,z) \}\)

Beispiel

Allgemeine Fuzzy-Relationen

Produkt: \(R \circ_{\cdot} S\)

\[\mu_{R \circ_{\cdot} S}(x,z) := sup_{y \in X_2} \{ \mu_R(x,y) \cdot \mu_S(y,z) \}\]

Average: \(R \circ_{\cdot} S\)

\[\mu_{R \circ_{av} S}(x,z) := sup_{y \in X_2} \{ \frac{1}{2} (\mu_R(x,y) + \mu_S(y,z)) \}\]

Projektionen

Definition

Sei \(R \in F(X_1 \times X_2)\) und seien zwei Projektionen \(pr_1(R), pr_2(R)\) gegeben als:

\[\begin{split}&\forall x \in X_1: \mu_{pr_1(R)}(x) := sup_{y \in X_2} \{ \mu_R(x,y) \} \\ &\forall y \in X_2: \mu_{pr_2(R)}(y) := sup_{x \in X_1} \{ \mu_R(x,y) \}\end{split}\]

Die totale Projektion \(pr_{Total}(R)\) ist dann definiert als:

\[\mu_{pr_{Total}} := sup_{x \in X_1} sup_{y \in X_2} \{ \mu (x,y) \}\]

Kartesisches Produkt

Definition

Seien \(A \in F(X_1), B \in F(X_2)\). Dann wird \(A \times B\) definiert als:

\[\forall (x,y) \in X_1 \times X_2: \mu_{A \times B}(x,y) := min \{ \mu_A(x), \mu_B(y) \}\]

Beispiel

Äquivalenzrelation

Definition

Eine binäre Funktion \(R = R(X,X)\) heißt Äquivalenzrelation (similarity relations), falls sie folgendes ist:

• reflexiv, wenn \(\mu_R(x,x) = 1\) f.a. \(x \in X\)
• syemtrisch, wenn \(\mu_R(x,y) = \mu_R(y,x)\) f.a. \(x,y \in X\)
• transitiv (sup min-transitiv), wenn \(sup_{z \in X} min \{ \mu_R(x,z), \mu_R(z,y) \}\) f.a. \(x,y,z \in X\)

Äquivalenzrelationen sind gut geeignet zur Modellierung von unscharfen Nachbarschaftsbeziehungen (Weil sie die Anforderung einer Abstandsnorm (Metrik) erfüllen).

Verallgemeinerung von \(\cup\) und \(\cap\) - Operatoren

T-Normen und T-Conormen (S-Normen)

Gernerelle Voraussetzung: \(\mu_{A \cap B}\) soll elementweise zu berechnen sein aus \(\mu_A\) und \(\mu_B\).