Operationen auf Fuzzy-Mengen

Schnitt

\(A \cap B\) ist definiert als Fuzzy-Menge mit

\[\mu_{A \cap B}: X \rightarrow [0,1], \mu:{A \cap B} = min(\mu_A(X), \mu_B(X))\]

Vereinigung

\(A \cup B\) ist definiert als Fuzzy-Menge mit

\[\mu_{A \cup B}: X \rightarrow [0,1], \mu:{A \cup B} = max(\mu_A(X), \mu_B(X))\]

Komplement

\(A \backslash B\) ist definiert als Fuzzy-Menge mit

\[\mu_{\overline{A}}: X \rightarrow [0,1], \mu:{\overline{A}}(x) = 1 - \mu_A(X)\]

Eigenschaften dieser Operationen

Seien A,B,C Fuzzy-Mengen und schrieben wir statt \(max(\mu_A(x), \mu_B(x))x\) kurz \(A \cup B\). Es gelten für \(\cup\) (und analog für \(\cap\)):

• Kommmutativität \(A \cup B = A \cup B\)
• Assoziativität \((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\)
• Indempotenz: \(A \cup A = A\)
• \(\forall A \in F(X): \emptyset \subseteq A \subseteq X\) mit \(\mu_A = 0\) und \(\mu_X = 1\)
• \(A \subseteq B \cup B \subseteq A \Rightarrow A = B\)
• \(A \cup \emptyset = A\)
• \(A \cup X = X\)
• \(A \cap \emptyset = \emptyset\)
• \(A \cap X = A\)
• Distributivität \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)
• Komplettabbildung: \(\overline{\overline{A}} = A\)

Es gilt NICHT:

• \(A \cup \overline{A} = X\)
• \(A \cap \overline{A} = \emptyset\)

Allgemeine Vereinigung und allgemeiner Schnitt

Seien undendlich viele Fuzzy-Mengen gegeben als: \(\{ A_i , i \in I \}\) mit I als Indexmenge

\[\begin{split}&C = \bigcup_{i \in I} A_i, \mu_C (x) =_{def.} sup_{i \in I} \mu_{A_i}(x) \\ &C = \bigcap_{i \in I} A_i, \mu_C (x) =_{def.} inf_{i \in I} \mu_{A_i}(x)\end{split}\]

Konzentrationsoperator

(Meistens n = 2)

\[\mu_{Select A}(x) = (\mu_A(x))^n\]

Dilatationsoperator

\[\mu_{Mehr oder weniger A}(x) = \sqrt[n]{\mu_A(x)}\]