Übergang: Mengen –> Fuzzy Mengen

Eine Menge wird durch eine charakterisierende Eigenschaft oder durch eine charakteristische Funktion festgelegt. Für Fuzzy-Mengen wird diese Funktion zur sogenannten Zugehörigkeitsfunktion erweitert.

Klassische (Crisp) Menge

Bsp 1: Grundlagenmenge \(\mathbb{N}\) Teilmenge

\[M = \{ x \mid x \in \mathbb{N} \wedge \text{x hat zweistellige Dezimaldarstellung ohne führende Null} \}\]

Also \(M = \{ 10,11,...,99 \}\)

Charakteristische Funktion:

\[\begin{split}\mathcal{X}_m \mid \mathbb{N} \rightarrow \{ 0,1 \} \\ \mathcal{X}_m(x) = \text{1 falls obrige dez. darstellung vorhanden, o sonst}\end{split}\]

Fuzzy-Menge

Grundlage: Alle 4-jährigen Kinder mit Wohnort Kiel

Teilmenge: Alle großen 4-jährigen Kinder

Frage: Wie soll “groß” definiert werden?

Idee: Befragung von Kinderärzten und die Erweiterung der charakteristischen Funktion durch “Zugehörigkeitsfunktion”.

Graphisch:

Bemerkung: die definierende Eigenschaft einer Fuzzy-Menge wird allgemein linguistisch festgelegt. (z.B. “etwa 10”,....)

Modellierung: linguistischer Begriff \(\rightarrow\) Zugehörigkeitsfunktion

Definition: Eine Fuzzy-Menge (unscharfe Menge) A über eine Definitionsmenge X ist eine Menge von geordneten Paaren mit

\[A = \{ (x, \mu_A(x) \mid x \in X, \mu_A(x) \in [0,1]\}\]

Dabei ist \(\mu_A(x)\) eine Funktion \(\mu_A: X \rightarrow [0,1]\), die den Grad angibt zu dem ein Element \(x \in X\) in der Menge A enthalten ist. \(\mu_A(x)\) heißt Zugehörigkeitsfunktion von A. Die Gesamtheit aller Fuzzy-Mengen über X bezeichnen wir mit F(X).

Interpretation: Sei \(x \in X\). \(\mu_A(x) = 0\) keine Zugehörigkeit, \(\mu_A(x) = 1\) volle Zugehörigkeit. \(0 < \mu_A(x) < 1\) fließender Übergang.

Bemerkung: Jede gewöhnliche (Crisp) Menge kann als spezielle Fuzzy-Menge aufgefasst werden.

Darstellung von Fuzzy-Mengen

Bsp: “Groß” als eiegenschaft einer bestimmten Menge von Individuen (mit Parametern a,b und a < b )

\[\begin{split}|x| = \left\{ \begin{array}{lll} 0 & \mbox{falls } x \le a \\ \frac{x - a}{b - a} & \mbox{falls } a < x < b \\ 1 & \mbox{falls } x \ge b \end{array} \right.\end{split}\]

Mögliche Interpretation der Zugehörigkeitsfunktion

• als Grad zu dem ein Element zu einer Menge gehört
• als Grad zu dem ein Element eine für diese Menge charakteristische Eigenschaft besitzt
• als Grad der Möglichkeit, dass ein Element in dieser Menge liegt
• als Möglichkeitsgrad zudem eine Aussage zutrifft

Träger der Fuzzy-Menge

Der Träger einer Fuzzy-Menge A über X ist

\[\begin{split}supp_A :=_{df} \{x \in X \mid \mu_a(x) > 0 \}\end{split}\]

Eine Vereinfachung für die Implementierung: ein abgeschlossenes statt zwar beschränktes aber offenes Interval.

Höhe

Die Höhe eine unscharfen Menge A über X: \(hqt_A :=_{df} \mu_A(x)\)

normalisierte Fuzzy-Menge

\[A_{normalisiert} \Leftrightarrow hgt(A) = 1\]

Konvexe Fuzzy-Menge

Eine Fuzzy-Menge A über \(\mathscr{R}\) heißt konvex, wenn

\[\forall a,b,c \in \mathscr{R}: a \le b \le c \Rightarrow \mu_A(b) \ge min(\mu_A(a), \mu_A(c))\]

unscharfe Zahl

Eine Fuzzy-Menge A über \(\mathscr{R}\) heißt unscharfe Zahl, falls A konvex ist und es genau eine Zahl a gibt mit \(\mu_A(a) = 1\)

\(\alpha\)-Schnitt

\[A^{\ge a} = \{ x \in X \mid \mu_A(x) \ge a \} \text{ mit } \alpha \in (0, 1]\]

Für \(\alpha = 0\), dann nehmen wir den Träger als Schnitt: \(A^{\ge 0} = supp(A)\)